anvitel
08/01/08, 09:31:24
http://www.fractales.org/
http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal
http://www.disenolibre.org/wp-content/uploads/2007/03/fractales.jpg
Fractal
http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Cockpit/5889/
De Wikipedia, la enciclopedia libre
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Descubriendo Fractales
LA GEOMETRÍA FRACTAL, UNA GEOMETRÍA DE NUESTRO SIGLO
soluciones, para la botanica, genetica, fisica.............
LA GEOMETRÍA FRACTAL, UNA GEOMETRÍA DE NUESTRO SIGLO
¿Qué son los Fractales?
Música Fractal
La geometría surgió para el hombre como una necesidad, con el objetivo de medir la tierra.
Posteriormente olvidó, como tantas otras ciencias, sus orígenes. Hizo uso desde un principo de la intuición y el razonamiento y progresó durante siglos incursionando otras ciencias.
Investigó además la medida y la forma del Universo, pero siempre pensando en un Universo estable y ordenado, aprehensible mediante la intuición, previsible y racional.
En nuestro siglo la idea del Universo fue cambiando: la Geometría Clásica no es capáz de dar respuesta a un universo en el que tiene cabida el caos, el azar, en el que se combina lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande: las partículas elementales y el cosmos.
Aparecieron otras Geometrías (u otras ramas de la Geometría), que reconvirtieron a esta ciencia en el estudio de las ciencias de la realidad y en el arte, entre el orden y el caos.
En la naturaleza también aparece la geometría fractal, como en este romanescu.Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. [1] El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo o iterativo, capaz de producir estructuras auto-similares a cualquier escala de observación. Los fractales son estructuras geométricas irregulares y de detalle infinito. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.
A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:
Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
Posee detalle a cualquier escala de observación.
Es auto-similar (exacta o estadísticamente).
Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las lineas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.
Tabla de contenidos [ocultar]
1 Categorías
2 Definición esquemática
3 Aplicaciones
4 Fractalismo, Teoría del Caos y Ciencias Sociales
5 Bibliografía
6 Véase también
7 Enlaces externos
Categorías [editar]Los fractales pueden ser divididos en tres amplias categorías, y posiblemente de carácter recursivo.
En resumen, una técnica análoga a la que los biólogos aplican al concepto de vida. En efecto, los fractales, como los seres vivos, satisfacen la mayor parte de las propiedades de una lista, pero algunos de ellos -fractales o seres vivos- carecen de alguna de ellas y, sin embargo, entran en la categoría correspondiente.
Definición esquemática [editar]Nombre o adjetivo que subraya ciertas repeticiones perceptibles e inacabables, tales como :
Repeticiones crecientes, decrecientes o iguales de entidades:
Repeticiones multiplicativas de entidades:
Repeticiones cíclicas de entidades:
Repeticiones no simétricas de entidades:
Ejemplo: primera entidad: resultado
Aplicaciones [editar]Se han utilizado técnicas de fractales en la compresión de datos y en diversas disciplinas científicas.
Existen pruebas para la compresión de imágenes utilizando la geometría fractal junto con el teorema del collage, basándose en encontrar las transformaciones lineales que hacen que al aplicarlas reiteradas veces obtengamos la imagen procesada en cuestión. Lamentablemente, aún siguen siendo de tiempo asimétrico, es decir, se tarda aun mucho en encontrar las transformaciones que definen la imagen. No obstante, una vez encontradas, la descodificación es muy rápida, sólo hay que iterar el sistema. La compresión, aunque dependa de muchos factores, suele ser equiparable a la compresión JPEG, con lo cual el factor tiempo resulta determinante para decantarse por una u otra compresión.
También cabe destacar su aplicación al mundo de las artes plásticas y especialmente de la música.
Las formas fractales, las formas en la que las partes se asemejan al todo, están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías (las formas básicas que solo necesitan la mitad de información genética) y las espirales (Las formas de crecimiento y desarrollo de la forma básica hacia la ocupación de un mayor espacio), como las formas más sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biológicas, es decir posibilitan catástrofes (hechos extraordinarios) que dan lugar a nuevas realidades más complejas, como las hojas que presentan una morfología similar a la pequeña rama de la que forman parte que, a su vez, presentan una forma similar a la rama, que a su vez es similar a la forma del árbol, y sin embargo cualitativamente no es lo mismo una hoja (forma biológica simple), que una rama o un árbol (forma biológica compleja). Pero además las formas fractales (desde esta concepción intuitiva) no sólo se presentan en las formas espaciales de los objetos sino que se observan en la propia dinámica evolutiva de los sistemas complejos (ver teoría del caos). Dinámica que consta de ciclos (en los que partiendo de una realidad establecida simple acaban en la creación de una nueva realidad más compleja) que a su vez forman parte de ciclos más complejos que a su vez forman parte del desarrollo de la dinámica de otro gran ciclo, que .... y las evoluciones dinámicas de todos estos ciclos presentan las similitudes propias de los sistemas caóticos.
Se usan también como punto de unión entre el arte y la ciencia, un ejemplo de eso es el científico-poeta chileno-alemán Mario Markus.
Fractalismo, Teoría del Caos y Ciencias Sociales [editar]
Gracias al advenimiento de la geometría de los fractales, varias ciencias particulares pueden hoy tomar sus conceptos y aprovecharlos en sus respectivas áreas de conocimiento. Está surgiendo de este modo una compleja matriz científica, que puede servir para hacer de soporte a todas las ciencias particulares. Una suerte de Ciencia Madre.
Las ciencias sociales, por ejemplo, pueden utilizar muchos conceptos abstractos de los fractales y de la teoría del caos, proponiendo nuevas teorías o profundizando las clásicas, pero enriquecidas por el nuevo paradigma.
Karl Marx, para citar un ejemplo, realizó el "análisis fractal" de la economía política, estudiando la "mercancía" como la pieza raíz (la ecuación fundamental), de la cual obtenía el "árbol" completo de la sociedad capitalista, esto es, el fenómeno integral. En ese sentido, Marx veía el germen del sistema capitalista en su partícula económica celular, la mercancía, mínima expresión de la cual emanan todas las contradicciones sociales que luego se iteran a través de todo el sistema, preñándolo de su esencia y contradicciones.
La "mercancía" es la quintaesencia de la sociedad "mercantil" en la que vivimos. No es extraño que así sea, aunque no debemos caer en el reduccionismo. Un sistema simple (la mercancía) repercute (recursividad), se despliega de tal forma que pare un sistema complejo, que es cualitativamente diferente de la partícula que le dio la información.
Si el aleteo de una mariposa en Pekín puede desencadenar un huracán en Miami, como postula la Teoría del Caos, ¿No puede una crisis económica repercutir en todo el sistema? Vemos confirmar esta teoría en las crisis que generan ciertas economías particulares (nacionales) sobre el conjunto de la economía mundial.
De todas maneras, una extrapolación demasiado esquemática de la geometría fractal a las ciencias sociales será siempre una utopía, ya que la sociedad no es precisamente una abstracción matemática. En las matemáticas priman los entes estáticos, ideales: los números. Con una ecuación sumaria, o parámetros fijos, una computadora puede deducir una estructura, como pasa en el caso de las imágenes digitales que representan ecuaciones fractales, que no son otra cosa sino una ecuación iterada una cantidad determinada de veces. Sin embargo, una sociedad no puede hallar una ecuación sumaria que genere una estructura determinada, por el simple hecho de que los pilares de una sociedad son más elásticos que simples coordenadas ideales. Entonces se da lo que la teoría del caos denomina "sensibilidad extrema" a los "estados iniciales" de un proceso, que pueden redundar en drásticos cambios pasado un tiempo del inicio. De este modo, en las ciencias sociales priman los elementos móviles, la sociedad en un movimiento incesante. Sin embargo, el análisis del "ADN social", o sea, todas sus tendencias internas de desarrollo, pueden ser estudiadas siguiendo los parámetros de esta teoría, que no es otra cosa que una teoría integral del desarrollo, del devenir. Dicho de otra manera, es una forma novedosa que puede tomar el método dialéctico que funda Marx, sobre la base de Hegel y Heráclito.
La ciencia tiene como uno de sus usos la predicción. Es decir, predecir determinando Leyes que se cumplan a cabalidad, con lo que el futuro sería predecible desde la razón. Muy diferente a la predicción esotérica, este tipo de predicción científica se da en base al estudio de las condiciones iniciales de un fenómeno. Allí se trata de observar sus principales tendencias vitales, que se cristalizan en un tipo de desarrollo. Dos ejemplos: Newton, con su ley de gravitación universal, estableció leyes que permitieron resolver y predecir, fenómenos que antes eran imposibles de estudiar. Otro ejemplo lo tenemos con el avance de la biología genética. Con el estudio del genoma humano, lo que se está tratando de hacer es sacar las leyes que rigen el desarrollo del ser humano. Sin embargo, la sociedad no tiene un ADN tan rígido como el ser humano.
Marx también estudió otras ecuaciones sumarias que engendraban a la estructura capitalista mundial. Una de ellas era la propiedad privada de los medios de producción. Estudiando esta forma legal de relacionamiento social, halló cómo se desarrollaría este fenómeno histórico. Y sacó la conclusión de que la propiedad privada tendía al monopolio. Pero no pudo determinar "exactamente" el porvenir del sistema, ya que el capitalismo no tiene un ADN que permita predecir con exactitud su desenvolvimiento diacrónico, histórico. Y si lo tuviera, en tiempos de Marx nadie lo entendería aún. Por ello, las ciencias sociales se baten entre las ciencias duras y las blandas. No llega a ser una "ciencia dura" por esta imposibilidad de hallar leyes precisas. Pero puede hallar leyes elásticas, que acerquen al objeto de estudio sin renunciar a la ciencia. El método que puede servir para ello es la teoría del caos y los fractales.
En esto se relacionan la teoría de fractales y la teoría del caos, las cuales son parte de un mismo y novedoso paradigma emergente en la Ciencia. La teoría de Sistemas de Ludwig von Bertalanffy también tiene sus aportes para hacer, al igual que la Teoría de las catástrofes, de René Thom.
Bibliografía [editar]Benoît Mandelbrot, La Geometría Fractal de la Naturaleza, Tusquets, ISBN 8483105497
Tesis doctoral: La Dimensión Fractal en el Mercado de Capitales Jesús Muñoz San Miguel. Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales. Universidad de Sevilla. Julio de 2002.
Véase también [editar]¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?
Enlaces externos [editar]
Aplicaciones en genetica y biologia
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http://www.uam.es/otros/hojavol/hoja12/imagenes12/koch.GIF
En la naturaleza también aparece la geometría fractal, como en este romanescu.Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. [1] El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo o iterativo, capaz de producir estructuras auto-similares a cualquier escala de observación. Los fractales son estructuras geométricas irregulares y de detalle infinito. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.
A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:
Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
Posee detalle a cualquier escala de observación.
Es auto-similar (exacta o estadísticamente).
Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las lineas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.
Tabla de contenidos [ocultar]
1 Categorías
2 Definición esquemática
3 Aplicaciones
4 Fractalismo, Teoría del Caos y Ciencias Sociales
5 Bibliografía
6 Véase también
7 Enlaces externos
Categorías [editar]Los fractales pueden ser divididos en tres amplias categorías, y posiblemente de carácter recursivo.
En resumen, una técnica análoga a la que los biólogos aplican al concepto de vida. En efecto, los fractales, como los seres vivos, satisfacen la mayor parte de las propiedades de una lista, pero algunos de ellos -fractales o seres vivos- carecen de alguna de ellas y, sin embargo, entran en la categoría correspondiente.
Definición esquemática [editar]Nombre o adjetivo que subraya ciertas repeticiones perceptibles e inacabables, tales como :
Repeticiones crecientes, decrecientes o iguales de entidades:
Repeticiones multiplicativas de entidades:
Repeticiones cíclicas de entidades:
Repeticiones no simétricas de entidades:
Ejemplo: primera entidad: resultado
Aplicaciones [editar]Se han utilizado técnicas de fractales en la compresión de datos y en diversas disciplinas científicas.
Existen pruebas para la compresión de imágenes utilizando la geometría fractal junto con el teorema del collage, basándose en encontrar las transformaciones lineales que hacen que al aplicarlas reiteradas veces obtengamos la imagen procesada en cuestión. Lamentablemente, aún siguen siendo de tiempo asimétrico, es decir, se tarda aun mucho en encontrar las transformaciones que definen la imagen. No obstante, una vez encontradas, la descodificación es muy rápida, sólo hay que iterar el sistema. La compresión, aunque dependa de muchos factores, suele ser equiparable a la compresión JPEG, con lo cual el factor tiempo resulta determinante para decantarse por una u otra compresión.
También cabe destacar su aplicación al mundo de las artes plásticas y especialmente de la música.
Las formas fractales, las formas en la que las partes se asemejan al todo, están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías (las formas básicas que solo necesitan la mitad de información genética) y las espirales (Las formas de crecimiento y desarrollo de la forma básica hacia la ocupación de un mayor espacio), como las formas más sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biológicas, es decir posibilitan catástrofes (hechos extraordinarios) que dan lugar a nuevas realidades más complejas, como las hojas que presentan una morfología similar a la pequeña rama de la que forman parte que, a su vez, presentan una forma similar a la rama, que a su vez es similar a la forma del árbol, y sin embargo cualitativamente no es lo mismo una hoja (forma biológica simple), que una rama o un árbol (forma biológica compleja). Pero además las formas fractales (desde esta concepción intuitiva) no sólo se presentan en las formas espaciales de los objetos sino que se observan en la propia dinámica evolutiva de los sistemas complejos (ver teoría del caos). Dinámica que consta de ciclos (en los que partiendo de una realidad establecida simple acaban en la creación de una nueva realidad más compleja) que a su vez forman parte de ciclos más complejos que a su vez forman parte del desarrollo de la dinámica de otro gran ciclo, que .... y las evoluciones dinámicas de todos estos ciclos presentan las similitudes propias de los sistemas caóticos.
Se usan también como punto de unión entre el arte y la ciencia, un ejemplo de eso es el científico-poeta chileno-alemán Mario Markus.
Fractalismo, Teoría del Caos y Ciencias Sociales [editar]
Gracias al advenimiento de la geometría de los fractales, varias ciencias particulares pueden hoy tomar sus conceptos y aprovecharlos en sus respectivas áreas de conocimiento. Está surgiendo de este modo una compleja matriz científica, que puede servir para hacer de soporte a todas las ciencias particulares. Una suerte de Ciencia Madre.
Las ciencias sociales, por ejemplo, pueden utilizar muchos conceptos abstractos de los fractales y de la teoría del caos, proponiendo nuevas teorías o profundizando las clásicas, pero enriquecidas por el nuevo paradigma.
Karl Marx, para citar un ejemplo, realizó el "análisis fractal" de la economía política, estudiando la "mercancía" como la pieza raíz (la ecuación fundamental), de la cual obtenía el "árbol" completo de la sociedad capitalista, esto es, el fenómeno integral. En ese sentido, Marx veía el germen del sistema capitalista en su partícula económica celular, la mercancía, mínima expresión de la cual emanan todas las contradicciones sociales que luego se iteran a través de todo el sistema, preñándolo de su esencia y contradicciones.
La "mercancía" es la quintaesencia de la sociedad "mercantil" en la que vivimos. No es extraño que así sea, aunque no debemos caer en el reduccionismo. Un sistema simple (la mercancía) repercute (recursividad), se despliega de tal forma que pare un sistema complejo, que es cualitativamente diferente de la partícula que le dio la información.
Si el aleteo de una mariposa en Pekín puede desencadenar un huracán en Miami, como postula la Teoría del Caos, ¿No puede una crisis económica repercutir en todo el sistema? Vemos confirmar esta teoría en las crisis que generan ciertas economías particulares (nacionales) sobre el conjunto de la economía mundial.
De todas maneras, una extrapolación demasiado esquemática de la geometría fractal a las ciencias sociales será siempre una utopía, ya que la sociedad no es precisamente una abstracción matemática. En las matemáticas priman los entes estáticos, ideales: los números. Con una ecuación sumaria, o parámetros fijos, una computadora puede deducir una estructura, como pasa en el caso de las imágenes digitales que representan ecuaciones fractales, que no son otra cosa sino una ecuación iterada una cantidad determinada de veces. Sin embargo, una sociedad no puede hallar una ecuación sumaria que genere una estructura determinada, por el simple hecho de que los pilares de una sociedad son más elásticos que simples coordenadas ideales. Entonces se da lo que la teoría del caos denomina "sensibilidad extrema" a los "estados iniciales" de un proceso, que pueden redundar en drásticos cambios pasado un tiempo del inicio. De este modo, en las ciencias sociales priman los elementos móviles, la sociedad en un movimiento incesante. Sin embargo, el análisis del "ADN social", o sea, todas sus tendencias internas de desarrollo, pueden ser estudiadas siguiendo los parámetros de esta teoría, que no es otra cosa que una teoría integral del desarrollo, del devenir. Dicho de otra manera, es una forma novedosa que puede tomar el método dialéctico que funda Marx, sobre la base de Hegel y Heráclito.
La ciencia tiene como uno de sus usos la predicción. Es decir, predecir determinando Leyes que se cumplan a cabalidad, con lo que el futuro sería predecible desde la razón. Muy diferente a la predicción esotérica, este tipo de predicción científica se da en base al estudio de las condiciones iniciales de un fenómeno. Allí se trata de observar sus principales tendencias vitales, que se cristalizan en un tipo de desarrollo. Dos ejemplos: Newton, con su ley de gravitación universal, estableció leyes que permitieron resolver y predecir, fenómenos que antes eran imposibles de estudiar. Otro ejemplo lo tenemos con el avance de la biología genética. Con el estudio del genoma humano, lo que se está tratando de hacer es sacar las leyes que rigen el desarrollo del ser humano. Sin embargo, la sociedad no tiene un ADN tan rígido como el ser humano.
Marx también estudió otras ecuaciones sumarias que engendraban a la estructura capitalista mundial. Una de ellas era la propiedad privada de los medios de producción. Estudiando esta forma legal de relacionamiento social, halló cómo se desarrollaría este fenómeno histórico. Y sacó la conclusión de que la propiedad privada tendía al monopolio. Pero no pudo determinar "exactamente" el porvenir del sistema, ya que el capitalismo no tiene un ADN que permita predecir con exactitud su desenvolvimiento diacrónico, histórico. Y si lo tuviera, en tiempos de Marx nadie lo entendería aún. Por ello, las ciencias sociales se baten entre las ciencias duras y las blandas. No llega a ser una "ciencia dura" por esta imposibilidad de hallar leyes precisas. Pero puede hallar leyes elásticas, que acerquen al objeto de estudio sin renunciar a la ciencia. El método que puede servir para ello es la teoría del caos y los fractales.
En esto se relacionan la teoría de fractales y la teoría del caos, las cuales son parte de un mismo y novedoso paradigma emergente en la Ciencia. La teoría de Sistemas de Ludwig von Bertalanffy también tiene sus aportes para hacer, al igual que la Teoría de las catástrofes, de René Thom.
Bibliografía [editar]Benoît Mandelbrot, La Geometría Fractal de la Naturaleza, Tusquets, ISBN 8483105497
Tesis doctoral: La Dimensión Fractal en el Mercado de Capitales Jesús Muñoz San Miguel. Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales. Universidad de Sevilla. Julio de 2002.
Véase también [editar]¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?
Enlaces externos [editar] Commons alberga contenido multimedia sobre fractales.Commons
La Relatividad de Escala descubre el Universo como una gran función de onda
El Universo está realmente reflejado en un grano de arena
El universo sería intrínsecamente geométrico
Música fractal: el sonido del caos: libro con licencia Creative Commons; comienza con una introducción general sobre los fractales, y luego analiza su aplicación a la composición automática de música
Codificación fractal de imágenes: otro libro con licencia Creative Commons; analiza la aplicación de técnicas fractales a la compresión con pérdidas de imágenes
Borlandia Applets de java que generan Fractales interactivos
FractInt generador fractal freeware, para DOS, Windows y existe un porte a Linux disponible. (en inglés)
www.geometriafractal.com
Información sobre fractales
FractalTec (Proyecto Libre de Investigación en Matemática Fractal y Teoría del Caos.
Replayer El archivo de Fractales publicó en USENET.
Página sobre fractales del Prof. José Martínez Aroza de la Universidad de Granada.
WebFractales Galerías y programas.
Epsilones - Fractales.
fractales de aramin (en inglés)
Fractovia - galería de arte fractal (incluye artículos en español).
La Galeria di Soler
Ktaza Generador fractal freeware desarrollado por S. Ferguson. (en inglés)
Apophysis Programa de código libre para la creación de fractales (en inglés)
IFS Illusions Galerías
Epsilones Buena explicación de los fundamentos del Caos y los fractales. (en español)
Fractales web Galería de imágenes sobre fractales. Buena calidad de imágen, para usar de fondo de escritorio.
Fractales de papel
- Oye, ¿y si volvemos a escribir la sección del diálogo?
- No, esas cosas hay que dejar que surjan, no podemos poner un diálogo en la revista así porque sí.
- Claro, eso es verdad.
- Por cierto, me gusta tu camiseta. Sale un pez engullendo a otro más pequeño que a su vez engulle a otro más pequeño... Si se repitiera indefinidamente sería un fractal ¿tú sabes qué es un fractal?
- Fractal, fractal, frac... ¿Un traje muy elegante? ¿como mi camiseta?
- ¡No! Bueno, como tu camiseta sí, y como las muñecas rusas esas...
- ¡Matrioskas!
- ¡Ésas! Un fractal (el nombre se lo puso Benoît Mandelbrot) es un objeto que presenta la misma estructura al cambiar indefinidamente la escala de observación. En la naturaleza hay muchas cosas con estructura fractal, por ejemplo si le arrancas un trozo a una coliflor y lo miras con una lupa parece una coliflor entera y lo mismo pasa con muchas plantas, fíjate en los helechos...
- Bueno, pero no estamos aquí para hablar de coliflores ¿verdad? ¿Qué van a decir los expertos en coliflores? ¡Eh!
- Efectivamente, “no hables de lo que no sabes” reza el dicho, lo que en tu caso puede ser resumido en “¡no hables!”. Y como apuntabas, no vamos a hablar de fractales en la naturaleza sino que vamos a construir algunos fractales “matemáticos”. Esto quiere decir que describiremos un proceso geométrico muy sencillo que repetiremos infinitamente para obtener una estructura final de apariencia más complicada.
- ¿Y cómo vamos a repetir algo infinitas veces?
- Muy sencillo, no vamos a hacerlo. Llegado un punto diremos “y así hasta el infinito”.
- ¿Puedes poner un ejemplo?
- Mira, coge un segmento, divídelo en tres trozos iguales y elimina el tercio central.
- Vale, ya está.
- Bien, pues ahora, con cada uno de los dos segmentos que tienes haces lo mismo, lo divides en tres y quitas el centro.
- Ah, ya veo y otra vez y otra... ¿así?
- Efectivamente. Y así hasta el infinito. La figura que obtendrías tras repetirlo infinitas veces estaría formada por “un montón de puntitos”. Son infinitos pero su longitud total es nula. Ese fractal se conoce con el nombre de conjunto de Cantor o “polvo de Cantor” (en honor al matemático Georg Cantor).
- Ya veo ya...
- Pues ese es uno de los numerosos ejemplos de fractal, uno de los más sencillos.
- A ver, otro...
- El copo de nieve de Koch. Dibuja un triángulo equilátero. Ahora, en cada uno de sus lados reemplazas el tercio central por los dos segmentos que completarían el triángulo equilátero que tiene por base a ese tercio central (y el otro vértice fuera del triángulo original). Osea:
http://www.arrakis.es/~sysifus/
La solucion de muchas propuestas biologicas mias y de las multis
http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal
http://www.disenolibre.org/wp-content/uploads/2007/03/fractales.jpg
Fractal
http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Cockpit/5889/
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Descubriendo Fractales
LA GEOMETRÍA FRACTAL, UNA GEOMETRÍA DE NUESTRO SIGLO
soluciones, para la botanica, genetica, fisica.............
LA GEOMETRÍA FRACTAL, UNA GEOMETRÍA DE NUESTRO SIGLO
¿Qué son los Fractales?
Música Fractal
La geometría surgió para el hombre como una necesidad, con el objetivo de medir la tierra.
Posteriormente olvidó, como tantas otras ciencias, sus orígenes. Hizo uso desde un principo de la intuición y el razonamiento y progresó durante siglos incursionando otras ciencias.
Investigó además la medida y la forma del Universo, pero siempre pensando en un Universo estable y ordenado, aprehensible mediante la intuición, previsible y racional.
En nuestro siglo la idea del Universo fue cambiando: la Geometría Clásica no es capáz de dar respuesta a un universo en el que tiene cabida el caos, el azar, en el que se combina lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande: las partículas elementales y el cosmos.
Aparecieron otras Geometrías (u otras ramas de la Geometría), que reconvirtieron a esta ciencia en el estudio de las ciencias de la realidad y en el arte, entre el orden y el caos.
En la naturaleza también aparece la geometría fractal, como en este romanescu.Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. [1] El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo o iterativo, capaz de producir estructuras auto-similares a cualquier escala de observación. Los fractales son estructuras geométricas irregulares y de detalle infinito. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.
A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:
Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
Posee detalle a cualquier escala de observación.
Es auto-similar (exacta o estadísticamente).
Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las lineas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.
Tabla de contenidos [ocultar]
1 Categorías
2 Definición esquemática
3 Aplicaciones
4 Fractalismo, Teoría del Caos y Ciencias Sociales
5 Bibliografía
6 Véase también
7 Enlaces externos
Categorías [editar]Los fractales pueden ser divididos en tres amplias categorías, y posiblemente de carácter recursivo.
En resumen, una técnica análoga a la que los biólogos aplican al concepto de vida. En efecto, los fractales, como los seres vivos, satisfacen la mayor parte de las propiedades de una lista, pero algunos de ellos -fractales o seres vivos- carecen de alguna de ellas y, sin embargo, entran en la categoría correspondiente.
Definición esquemática [editar]Nombre o adjetivo que subraya ciertas repeticiones perceptibles e inacabables, tales como :
Repeticiones crecientes, decrecientes o iguales de entidades:
Repeticiones multiplicativas de entidades:
Repeticiones cíclicas de entidades:
Repeticiones no simétricas de entidades:
Ejemplo: primera entidad: resultado
Aplicaciones [editar]Se han utilizado técnicas de fractales en la compresión de datos y en diversas disciplinas científicas.
Existen pruebas para la compresión de imágenes utilizando la geometría fractal junto con el teorema del collage, basándose en encontrar las transformaciones lineales que hacen que al aplicarlas reiteradas veces obtengamos la imagen procesada en cuestión. Lamentablemente, aún siguen siendo de tiempo asimétrico, es decir, se tarda aun mucho en encontrar las transformaciones que definen la imagen. No obstante, una vez encontradas, la descodificación es muy rápida, sólo hay que iterar el sistema. La compresión, aunque dependa de muchos factores, suele ser equiparable a la compresión JPEG, con lo cual el factor tiempo resulta determinante para decantarse por una u otra compresión.
También cabe destacar su aplicación al mundo de las artes plásticas y especialmente de la música.
Las formas fractales, las formas en la que las partes se asemejan al todo, están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías (las formas básicas que solo necesitan la mitad de información genética) y las espirales (Las formas de crecimiento y desarrollo de la forma básica hacia la ocupación de un mayor espacio), como las formas más sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biológicas, es decir posibilitan catástrofes (hechos extraordinarios) que dan lugar a nuevas realidades más complejas, como las hojas que presentan una morfología similar a la pequeña rama de la que forman parte que, a su vez, presentan una forma similar a la rama, que a su vez es similar a la forma del árbol, y sin embargo cualitativamente no es lo mismo una hoja (forma biológica simple), que una rama o un árbol (forma biológica compleja). Pero además las formas fractales (desde esta concepción intuitiva) no sólo se presentan en las formas espaciales de los objetos sino que se observan en la propia dinámica evolutiva de los sistemas complejos (ver teoría del caos). Dinámica que consta de ciclos (en los que partiendo de una realidad establecida simple acaban en la creación de una nueva realidad más compleja) que a su vez forman parte de ciclos más complejos que a su vez forman parte del desarrollo de la dinámica de otro gran ciclo, que .... y las evoluciones dinámicas de todos estos ciclos presentan las similitudes propias de los sistemas caóticos.
Se usan también como punto de unión entre el arte y la ciencia, un ejemplo de eso es el científico-poeta chileno-alemán Mario Markus.
Fractalismo, Teoría del Caos y Ciencias Sociales [editar]
Gracias al advenimiento de la geometría de los fractales, varias ciencias particulares pueden hoy tomar sus conceptos y aprovecharlos en sus respectivas áreas de conocimiento. Está surgiendo de este modo una compleja matriz científica, que puede servir para hacer de soporte a todas las ciencias particulares. Una suerte de Ciencia Madre.
Las ciencias sociales, por ejemplo, pueden utilizar muchos conceptos abstractos de los fractales y de la teoría del caos, proponiendo nuevas teorías o profundizando las clásicas, pero enriquecidas por el nuevo paradigma.
Karl Marx, para citar un ejemplo, realizó el "análisis fractal" de la economía política, estudiando la "mercancía" como la pieza raíz (la ecuación fundamental), de la cual obtenía el "árbol" completo de la sociedad capitalista, esto es, el fenómeno integral. En ese sentido, Marx veía el germen del sistema capitalista en su partícula económica celular, la mercancía, mínima expresión de la cual emanan todas las contradicciones sociales que luego se iteran a través de todo el sistema, preñándolo de su esencia y contradicciones.
La "mercancía" es la quintaesencia de la sociedad "mercantil" en la que vivimos. No es extraño que así sea, aunque no debemos caer en el reduccionismo. Un sistema simple (la mercancía) repercute (recursividad), se despliega de tal forma que pare un sistema complejo, que es cualitativamente diferente de la partícula que le dio la información.
Si el aleteo de una mariposa en Pekín puede desencadenar un huracán en Miami, como postula la Teoría del Caos, ¿No puede una crisis económica repercutir en todo el sistema? Vemos confirmar esta teoría en las crisis que generan ciertas economías particulares (nacionales) sobre el conjunto de la economía mundial.
De todas maneras, una extrapolación demasiado esquemática de la geometría fractal a las ciencias sociales será siempre una utopía, ya que la sociedad no es precisamente una abstracción matemática. En las matemáticas priman los entes estáticos, ideales: los números. Con una ecuación sumaria, o parámetros fijos, una computadora puede deducir una estructura, como pasa en el caso de las imágenes digitales que representan ecuaciones fractales, que no son otra cosa sino una ecuación iterada una cantidad determinada de veces. Sin embargo, una sociedad no puede hallar una ecuación sumaria que genere una estructura determinada, por el simple hecho de que los pilares de una sociedad son más elásticos que simples coordenadas ideales. Entonces se da lo que la teoría del caos denomina "sensibilidad extrema" a los "estados iniciales" de un proceso, que pueden redundar en drásticos cambios pasado un tiempo del inicio. De este modo, en las ciencias sociales priman los elementos móviles, la sociedad en un movimiento incesante. Sin embargo, el análisis del "ADN social", o sea, todas sus tendencias internas de desarrollo, pueden ser estudiadas siguiendo los parámetros de esta teoría, que no es otra cosa que una teoría integral del desarrollo, del devenir. Dicho de otra manera, es una forma novedosa que puede tomar el método dialéctico que funda Marx, sobre la base de Hegel y Heráclito.
La ciencia tiene como uno de sus usos la predicción. Es decir, predecir determinando Leyes que se cumplan a cabalidad, con lo que el futuro sería predecible desde la razón. Muy diferente a la predicción esotérica, este tipo de predicción científica se da en base al estudio de las condiciones iniciales de un fenómeno. Allí se trata de observar sus principales tendencias vitales, que se cristalizan en un tipo de desarrollo. Dos ejemplos: Newton, con su ley de gravitación universal, estableció leyes que permitieron resolver y predecir, fenómenos que antes eran imposibles de estudiar. Otro ejemplo lo tenemos con el avance de la biología genética. Con el estudio del genoma humano, lo que se está tratando de hacer es sacar las leyes que rigen el desarrollo del ser humano. Sin embargo, la sociedad no tiene un ADN tan rígido como el ser humano.
Marx también estudió otras ecuaciones sumarias que engendraban a la estructura capitalista mundial. Una de ellas era la propiedad privada de los medios de producción. Estudiando esta forma legal de relacionamiento social, halló cómo se desarrollaría este fenómeno histórico. Y sacó la conclusión de que la propiedad privada tendía al monopolio. Pero no pudo determinar "exactamente" el porvenir del sistema, ya que el capitalismo no tiene un ADN que permita predecir con exactitud su desenvolvimiento diacrónico, histórico. Y si lo tuviera, en tiempos de Marx nadie lo entendería aún. Por ello, las ciencias sociales se baten entre las ciencias duras y las blandas. No llega a ser una "ciencia dura" por esta imposibilidad de hallar leyes precisas. Pero puede hallar leyes elásticas, que acerquen al objeto de estudio sin renunciar a la ciencia. El método que puede servir para ello es la teoría del caos y los fractales.
En esto se relacionan la teoría de fractales y la teoría del caos, las cuales son parte de un mismo y novedoso paradigma emergente en la Ciencia. La teoría de Sistemas de Ludwig von Bertalanffy también tiene sus aportes para hacer, al igual que la Teoría de las catástrofes, de René Thom.
Bibliografía [editar]Benoît Mandelbrot, La Geometría Fractal de la Naturaleza, Tusquets, ISBN 8483105497
Tesis doctoral: La Dimensión Fractal en el Mercado de Capitales Jesús Muñoz San Miguel. Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales. Universidad de Sevilla. Julio de 2002.
Véase también [editar]¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?
Enlaces externos [editar]
Aplicaciones en genetica y biologia
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En la naturaleza también aparece la geometría fractal, como en este romanescu.Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. [1] El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo o iterativo, capaz de producir estructuras auto-similares a cualquier escala de observación. Los fractales son estructuras geométricas irregulares y de detalle infinito. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.
A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:
Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
Posee detalle a cualquier escala de observación.
Es auto-similar (exacta o estadísticamente).
Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las lineas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.
Tabla de contenidos [ocultar]
1 Categorías
2 Definición esquemática
3 Aplicaciones
4 Fractalismo, Teoría del Caos y Ciencias Sociales
5 Bibliografía
6 Véase también
7 Enlaces externos
Categorías [editar]Los fractales pueden ser divididos en tres amplias categorías, y posiblemente de carácter recursivo.
En resumen, una técnica análoga a la que los biólogos aplican al concepto de vida. En efecto, los fractales, como los seres vivos, satisfacen la mayor parte de las propiedades de una lista, pero algunos de ellos -fractales o seres vivos- carecen de alguna de ellas y, sin embargo, entran en la categoría correspondiente.
Definición esquemática [editar]Nombre o adjetivo que subraya ciertas repeticiones perceptibles e inacabables, tales como :
Repeticiones crecientes, decrecientes o iguales de entidades:
Repeticiones multiplicativas de entidades:
Repeticiones cíclicas de entidades:
Repeticiones no simétricas de entidades:
Ejemplo: primera entidad: resultado
Aplicaciones [editar]Se han utilizado técnicas de fractales en la compresión de datos y en diversas disciplinas científicas.
Existen pruebas para la compresión de imágenes utilizando la geometría fractal junto con el teorema del collage, basándose en encontrar las transformaciones lineales que hacen que al aplicarlas reiteradas veces obtengamos la imagen procesada en cuestión. Lamentablemente, aún siguen siendo de tiempo asimétrico, es decir, se tarda aun mucho en encontrar las transformaciones que definen la imagen. No obstante, una vez encontradas, la descodificación es muy rápida, sólo hay que iterar el sistema. La compresión, aunque dependa de muchos factores, suele ser equiparable a la compresión JPEG, con lo cual el factor tiempo resulta determinante para decantarse por una u otra compresión.
También cabe destacar su aplicación al mundo de las artes plásticas y especialmente de la música.
Las formas fractales, las formas en la que las partes se asemejan al todo, están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías (las formas básicas que solo necesitan la mitad de información genética) y las espirales (Las formas de crecimiento y desarrollo de la forma básica hacia la ocupación de un mayor espacio), como las formas más sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biológicas, es decir posibilitan catástrofes (hechos extraordinarios) que dan lugar a nuevas realidades más complejas, como las hojas que presentan una morfología similar a la pequeña rama de la que forman parte que, a su vez, presentan una forma similar a la rama, que a su vez es similar a la forma del árbol, y sin embargo cualitativamente no es lo mismo una hoja (forma biológica simple), que una rama o un árbol (forma biológica compleja). Pero además las formas fractales (desde esta concepción intuitiva) no sólo se presentan en las formas espaciales de los objetos sino que se observan en la propia dinámica evolutiva de los sistemas complejos (ver teoría del caos). Dinámica que consta de ciclos (en los que partiendo de una realidad establecida simple acaban en la creación de una nueva realidad más compleja) que a su vez forman parte de ciclos más complejos que a su vez forman parte del desarrollo de la dinámica de otro gran ciclo, que .... y las evoluciones dinámicas de todos estos ciclos presentan las similitudes propias de los sistemas caóticos.
Se usan también como punto de unión entre el arte y la ciencia, un ejemplo de eso es el científico-poeta chileno-alemán Mario Markus.
Fractalismo, Teoría del Caos y Ciencias Sociales [editar]
Gracias al advenimiento de la geometría de los fractales, varias ciencias particulares pueden hoy tomar sus conceptos y aprovecharlos en sus respectivas áreas de conocimiento. Está surgiendo de este modo una compleja matriz científica, que puede servir para hacer de soporte a todas las ciencias particulares. Una suerte de Ciencia Madre.
Las ciencias sociales, por ejemplo, pueden utilizar muchos conceptos abstractos de los fractales y de la teoría del caos, proponiendo nuevas teorías o profundizando las clásicas, pero enriquecidas por el nuevo paradigma.
Karl Marx, para citar un ejemplo, realizó el "análisis fractal" de la economía política, estudiando la "mercancía" como la pieza raíz (la ecuación fundamental), de la cual obtenía el "árbol" completo de la sociedad capitalista, esto es, el fenómeno integral. En ese sentido, Marx veía el germen del sistema capitalista en su partícula económica celular, la mercancía, mínima expresión de la cual emanan todas las contradicciones sociales que luego se iteran a través de todo el sistema, preñándolo de su esencia y contradicciones.
La "mercancía" es la quintaesencia de la sociedad "mercantil" en la que vivimos. No es extraño que así sea, aunque no debemos caer en el reduccionismo. Un sistema simple (la mercancía) repercute (recursividad), se despliega de tal forma que pare un sistema complejo, que es cualitativamente diferente de la partícula que le dio la información.
Si el aleteo de una mariposa en Pekín puede desencadenar un huracán en Miami, como postula la Teoría del Caos, ¿No puede una crisis económica repercutir en todo el sistema? Vemos confirmar esta teoría en las crisis que generan ciertas economías particulares (nacionales) sobre el conjunto de la economía mundial.
De todas maneras, una extrapolación demasiado esquemática de la geometría fractal a las ciencias sociales será siempre una utopía, ya que la sociedad no es precisamente una abstracción matemática. En las matemáticas priman los entes estáticos, ideales: los números. Con una ecuación sumaria, o parámetros fijos, una computadora puede deducir una estructura, como pasa en el caso de las imágenes digitales que representan ecuaciones fractales, que no son otra cosa sino una ecuación iterada una cantidad determinada de veces. Sin embargo, una sociedad no puede hallar una ecuación sumaria que genere una estructura determinada, por el simple hecho de que los pilares de una sociedad son más elásticos que simples coordenadas ideales. Entonces se da lo que la teoría del caos denomina "sensibilidad extrema" a los "estados iniciales" de un proceso, que pueden redundar en drásticos cambios pasado un tiempo del inicio. De este modo, en las ciencias sociales priman los elementos móviles, la sociedad en un movimiento incesante. Sin embargo, el análisis del "ADN social", o sea, todas sus tendencias internas de desarrollo, pueden ser estudiadas siguiendo los parámetros de esta teoría, que no es otra cosa que una teoría integral del desarrollo, del devenir. Dicho de otra manera, es una forma novedosa que puede tomar el método dialéctico que funda Marx, sobre la base de Hegel y Heráclito.
La ciencia tiene como uno de sus usos la predicción. Es decir, predecir determinando Leyes que se cumplan a cabalidad, con lo que el futuro sería predecible desde la razón. Muy diferente a la predicción esotérica, este tipo de predicción científica se da en base al estudio de las condiciones iniciales de un fenómeno. Allí se trata de observar sus principales tendencias vitales, que se cristalizan en un tipo de desarrollo. Dos ejemplos: Newton, con su ley de gravitación universal, estableció leyes que permitieron resolver y predecir, fenómenos que antes eran imposibles de estudiar. Otro ejemplo lo tenemos con el avance de la biología genética. Con el estudio del genoma humano, lo que se está tratando de hacer es sacar las leyes que rigen el desarrollo del ser humano. Sin embargo, la sociedad no tiene un ADN tan rígido como el ser humano.
Marx también estudió otras ecuaciones sumarias que engendraban a la estructura capitalista mundial. Una de ellas era la propiedad privada de los medios de producción. Estudiando esta forma legal de relacionamiento social, halló cómo se desarrollaría este fenómeno histórico. Y sacó la conclusión de que la propiedad privada tendía al monopolio. Pero no pudo determinar "exactamente" el porvenir del sistema, ya que el capitalismo no tiene un ADN que permita predecir con exactitud su desenvolvimiento diacrónico, histórico. Y si lo tuviera, en tiempos de Marx nadie lo entendería aún. Por ello, las ciencias sociales se baten entre las ciencias duras y las blandas. No llega a ser una "ciencia dura" por esta imposibilidad de hallar leyes precisas. Pero puede hallar leyes elásticas, que acerquen al objeto de estudio sin renunciar a la ciencia. El método que puede servir para ello es la teoría del caos y los fractales.
En esto se relacionan la teoría de fractales y la teoría del caos, las cuales son parte de un mismo y novedoso paradigma emergente en la Ciencia. La teoría de Sistemas de Ludwig von Bertalanffy también tiene sus aportes para hacer, al igual que la Teoría de las catástrofes, de René Thom.
Bibliografía [editar]Benoît Mandelbrot, La Geometría Fractal de la Naturaleza, Tusquets, ISBN 8483105497
Tesis doctoral: La Dimensión Fractal en el Mercado de Capitales Jesús Muñoz San Miguel. Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales. Universidad de Sevilla. Julio de 2002.
Véase también [editar]¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?
Enlaces externos [editar] Commons alberga contenido multimedia sobre fractales.Commons
La Relatividad de Escala descubre el Universo como una gran función de onda
El Universo está realmente reflejado en un grano de arena
El universo sería intrínsecamente geométrico
Música fractal: el sonido del caos: libro con licencia Creative Commons; comienza con una introducción general sobre los fractales, y luego analiza su aplicación a la composición automática de música
Codificación fractal de imágenes: otro libro con licencia Creative Commons; analiza la aplicación de técnicas fractales a la compresión con pérdidas de imágenes
Borlandia Applets de java que generan Fractales interactivos
FractInt generador fractal freeware, para DOS, Windows y existe un porte a Linux disponible. (en inglés)
www.geometriafractal.com
Información sobre fractales
FractalTec (Proyecto Libre de Investigación en Matemática Fractal y Teoría del Caos.
Replayer El archivo de Fractales publicó en USENET.
Página sobre fractales del Prof. José Martínez Aroza de la Universidad de Granada.
WebFractales Galerías y programas.
Epsilones - Fractales.
fractales de aramin (en inglés)
Fractovia - galería de arte fractal (incluye artículos en español).
La Galeria di Soler
Ktaza Generador fractal freeware desarrollado por S. Ferguson. (en inglés)
Apophysis Programa de código libre para la creación de fractales (en inglés)
IFS Illusions Galerías
Epsilones Buena explicación de los fundamentos del Caos y los fractales. (en español)
Fractales web Galería de imágenes sobre fractales. Buena calidad de imágen, para usar de fondo de escritorio.
Fractales de papel
- Oye, ¿y si volvemos a escribir la sección del diálogo?
- No, esas cosas hay que dejar que surjan, no podemos poner un diálogo en la revista así porque sí.
- Claro, eso es verdad.
- Por cierto, me gusta tu camiseta. Sale un pez engullendo a otro más pequeño que a su vez engulle a otro más pequeño... Si se repitiera indefinidamente sería un fractal ¿tú sabes qué es un fractal?
- Fractal, fractal, frac... ¿Un traje muy elegante? ¿como mi camiseta?
- ¡No! Bueno, como tu camiseta sí, y como las muñecas rusas esas...
- ¡Matrioskas!
- ¡Ésas! Un fractal (el nombre se lo puso Benoît Mandelbrot) es un objeto que presenta la misma estructura al cambiar indefinidamente la escala de observación. En la naturaleza hay muchas cosas con estructura fractal, por ejemplo si le arrancas un trozo a una coliflor y lo miras con una lupa parece una coliflor entera y lo mismo pasa con muchas plantas, fíjate en los helechos...
- Bueno, pero no estamos aquí para hablar de coliflores ¿verdad? ¿Qué van a decir los expertos en coliflores? ¡Eh!
- Efectivamente, “no hables de lo que no sabes” reza el dicho, lo que en tu caso puede ser resumido en “¡no hables!”. Y como apuntabas, no vamos a hablar de fractales en la naturaleza sino que vamos a construir algunos fractales “matemáticos”. Esto quiere decir que describiremos un proceso geométrico muy sencillo que repetiremos infinitamente para obtener una estructura final de apariencia más complicada.
- ¿Y cómo vamos a repetir algo infinitas veces?
- Muy sencillo, no vamos a hacerlo. Llegado un punto diremos “y así hasta el infinito”.
- ¿Puedes poner un ejemplo?
- Mira, coge un segmento, divídelo en tres trozos iguales y elimina el tercio central.
- Vale, ya está.
- Bien, pues ahora, con cada uno de los dos segmentos que tienes haces lo mismo, lo divides en tres y quitas el centro.
- Ah, ya veo y otra vez y otra... ¿así?
- Efectivamente. Y así hasta el infinito. La figura que obtendrías tras repetirlo infinitas veces estaría formada por “un montón de puntitos”. Son infinitos pero su longitud total es nula. Ese fractal se conoce con el nombre de conjunto de Cantor o “polvo de Cantor” (en honor al matemático Georg Cantor).
- Ya veo ya...
- Pues ese es uno de los numerosos ejemplos de fractal, uno de los más sencillos.
- A ver, otro...
- El copo de nieve de Koch. Dibuja un triángulo equilátero. Ahora, en cada uno de sus lados reemplazas el tercio central por los dos segmentos que completarían el triángulo equilátero que tiene por base a ese tercio central (y el otro vértice fuera del triángulo original). Osea:
http://www.arrakis.es/~sysifus/
La solucion de muchas propuestas biologicas mias y de las multis